三角関数

三角関数（さんかくかんすう、trigonometric function）とは、平面三角法において直角三角形の角の大きさから辺の比を与える関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。

概要

直角三角形は 1つの角が直角であり、三角形の内角の和は 180度であることから他の 1つの角の大きさが定まれば、角の大きさが3つとも決まり三角形の形が決まる。ゆえに角の大きさを与えることで、辺同士の比を返すような関数を考えることができる。

∠B を直角とする直角三角形 △ABC において ∠A = θ を与えれば、 3辺の比 AB : BC : CA が定まることから

<math>\sin\theta = {BC \over CA}</math>

<math>\cos\theta = {AB \over CA}</math>

<math>\tan\theta = {BC \over AB} = {\sin\theta \over \cos\theta}</math>

<math>\operatorname{sec}\theta = {CA \over AB} = {1 \over \cos\theta}</math>

<math>\operatorname{cosec}\theta = {CA \over BC} = {1 \over \sin\theta}</math>

<math>\cot\theta = {AB \over BC} = {\operatorname{cosec}\theta \over \sec\theta}</math>

という 6つの値が定まる。それぞれ正弦・余弦・正接・正割・余割・余接などと呼ばれるがまとめて三角比と呼ばれる。三角比は平面三角法に用いられ、巨大なものの大きさや遠方までの距離を測定する際に便利な道具として用いられる。角度 θの単位は度で与えられることもあるが、理論的にはラジアンで与えられた方が計算しやすい。これらの三角比の定義を拡張することによって、一般に θは直角三角形の内角という制限を取り払われ一般の実数、さらには複素数として与えることもできる。こうして三角比のように三角形の辺の比としての意味を持たず、純粋に関数としての性質に注目して定義したときこれらを三角関数と呼ぶ。単位円によって定義されたり、双曲線関数との類似などから、三角関数を円関数と呼んだりすることもある。

三角関数は多項式のように簡単に計算できる関数ではないが、三角関数の間には

sin² θ + cos² θ = 1

などの様々な代数関係が成り立ったりするし

<math>\frac{d^2}{dx^2} y(x) = -y(x) </math>

という比較的簡単な微分方程式の解を構成したりもする。つまり三角関数とは多項式と違って計算しにくい複雑な関数であるが、複雑な関数の中ではわかりやすくて単純な性質を持つ関数の一種である。したがって三角関数を詳しく調べることは他の扱いにくい複雑な関数を調べるための足がかりでもあり、基本的な関数としてよく研究されてきた。数学の多くの場面で顔を覗かせ初等関数に数えられている。

定義

2 次元ユークリッド空間 R² における単位円 x² + y² = 1 上で、点 (1,0) から正の向きに回転する動点 P = (x,y) に対して、動点と原点を結ぶ線分が x 軸の正方向と成す角を t として、

sin t = y

cos t = x

<math> \tan\,t = \frac{\sin\,t}{\cos\,t} = {y \over x}</math>

と定義する（ただし、tは反時計回りの向きを正として測る）。上から正弦関数（sine; サイン）・余弦関数（cosine; コサイン）・正接関数（tangent; タンジェント）と呼び、これらを総称して三角関数と呼ぶ。さらにその逆数、

<math>\mathrm{cosec}\,t = {1 \over \sin\,t} = {1 \over y},</math>

<math>\sec\,t = {1 \over \cos\,t} = {1 \over x},</math>

<math>\operatorname{cot}\,t = \frac{1}{\tan\,t} = \frac{x}{y}</math>

を、上から余割関数（cosecant; コセカント）・正割関数（secant; セカント）・余接関数（cotangent; コタンジェント）と呼び、これらを総称して割三角関数(かつさんかくかんすう)と呼ぶ。また、割三角関数を含めて三角関数と呼ぶこともある。cosecは長いのでcscと書くこともある。

周期性

単位円上を往く動点 P は2π の行程を隔てれば、単位円を一周する。従って、任意の行程 t は、

<math>

t = \theta + 2\pi n ;\ 
0 \leqq \theta < 2\pi ,\ n\isin \mathbb{Z}

</math>

と表現することができる。この時、θ を偏角、t を一般角と言う。偏角でも一般角でも、最終到達点の座標は一致するわけであるから、

sin(θ+2πn) = sinθ

が成り立つ（他の三角関数でも同様）。このことから、三角関数は周期関数となる。

歴史

一定の半径の円における中心角に対する弦と弧の長さの関係は天文学の要請によって古代から研究されてきた。

古代ギリシャにおいて、円と球に基づく宇宙観に則った天文学研究から、ヒッパルコスにより一定の半径の円における中心角に対する弦の長さが表にまとめられたもの（正弦表）が作られた。プトレマイオスの『アルマゲスト』にも正弦表が記載されている。

正弦表は後にインドに伝わり、弦の長さは半分でよいという考えから5世紀ごろには半弦 ardha-jiva （つまり現在の sine の意味の正弦）の長さをより精確にまとめたものが作成された（『アールヤバタ』）。ardha は"半分" jiva は"弦"の意味で、当時のインドではこの半弦（現在の sine の意味の正弦）は単に jiva と略された。また、弦の長さを半分にして直角三角形を当てはめたことから派生して余角(complementary angle)の考えが生まれ、“余角(co-angle)の正弦(sine)”という考えから余弦 (cosine)の考えが生まれた。余弦の値もこのころに詳しく調べられている。

（*co- は complementary の略で、補完的･補足的という意味の接頭語として用いる）

8世紀ごろアラビアへ伝わったときに jaib（入り江）と変化して、一説では12世紀にチェスターのロバートがラテン語に翻訳した際、正弦を sinus rectus と意訳し（sinusはラテン語で「湾」のこと）現在の、 sine になったという。

また、10世紀の数学者アル・バッターニが正弦法の導入、コタンジェント表の計算、球面三角法(球面幾何学)の定理を提唱した。

円や弦といった概念からは独立に、三角比を辺の比として角と長さの関係と捉えたのは16世紀ドイツのラエティクスであると言われる。余弦を co-sine とよんだり、sin, cos という記号が使われるようになったりしたのは 17世紀になってからであり、それが定着するのは 18世紀オイラーのころである。一般角に対する三角関数を定義したのはオイラーである。

三角関数の相互関係

単位円上の動点の座標によって定まる関数であることから、三角関数の間に成り立ついくつかの相互関係を導くことができる。

基本相互関係

• sin² t + cos² t = 1.
• sec² t − tan² t = 1.
• cosec² t − cot² t = 1.

負角・余角・補角公式

• sin(−t) = −sin t.
• cos(−t) = cos t.
• <math>\sin\!\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos t.</math>
• <math>\cos\!\left(t + {\pi\over 2}\right) = -\sin t.</math>
• sin(t + π) = −sin t.
• cos(t + π) = −cos t.

三角関数の加法定理

• <math>\sin(\alpha+\beta) =

 \sin\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\, \sin\beta

</math>

• <math>\sin(\alpha-\beta) =

 \sin\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\, \sin\beta

</math>

• <math>\cos(\alpha+\beta) =

\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\, \sin\beta

</math>

• <math>\cos(\alpha-\beta) =

 \cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\, \sin\beta

</math>

• <math>\tan(\alpha+\beta) =

 \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\, \tan\beta}

</math>

• <math>\tan(\alpha-\beta) =

 \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\, \tan\beta}

</math>

加法定理の導出

多くの導き方があるが、一例としてオイラーの公式から、

<math>

\cos(\alpha + \beta) + i\,\sin(\alpha + \beta) 
= e^{(\alpha + \beta)i} = e^{\alpha i} e^{\beta i}

</math>

<math>

=(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)(\cos\beta + i\,\sin\beta)

</math>

<math>

=(\cos\alpha\,\cos\beta - \sin\alpha\,\sin\beta) +
 i(\sin\alpha\,\cos\beta + \cos\alpha\,\sin\beta)

</math> として実部と虚部を比較すると sin, cos の加法公式を得る。また、

<math>\tan\left(\alpha \pm \beta\right)=

 \frac{\sin\alpha\,\cos\beta \pm \cos\alpha\,\sin\beta}
 {\cos\alpha\,\cos\beta \mp \sin\alpha\,\sin\beta}

</math> において分母と分子を <math>\cos\alpha\,\cos\beta</math> で割ると tan の加法公式が得られる。

なお、当然のことながら、ここで述べた導出法はオイラーの公式を既知とするように三角関数の導入（たとえば三角関数をべき級数として定義）を行っていなければ通用しない。

派生公式

加法定理から導かれる種々の有用な公式がある。

二倍角公式

• sin 2α = 2 sin α cos α.
• cos 2α = cos² α − sin² α = 2 cos² α − 1 = 1 − 2 sin² α.

• <math>\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}</math>

三倍角公式

• sin 3α = −4sin³ α + 3sin α.
• cos 3α = 4cos³ α − 3cos α.
• <math>\tan 3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}</math>

半角公式

• <math>\sin^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos\alpha}{2}.</math>
• <math>\cos^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos\alpha}{2}.</math>
• <math>\sin\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)

= \frac{\sin\alpha}{2}. </math>

三分角公式

• <math>\sin^3 \alpha = {1\over 4}(3\sin\alpha - \sin 3\alpha).</math>
• <math>\cos^3 \alpha = {1\over 4}(3\cos\alpha + \cos 3\alpha).</math>

和積公式

• <math>\sin\alpha + \sin\beta =

 2\sin\!\left({\alpha +\beta \over 2}\right) \cos\!\left({\alpha -\beta \over 2}\right).

</math>

• <math>\sin\alpha - \sin\beta =

 2\cos\!\left({\alpha +\beta \over 2}\right) \sin\!\left({\alpha -\beta \over 2}\right).

</math>

• <math>\cos\alpha + \cos\beta =

 2\cos\!\left({\alpha +\beta \over 2}\right) \cos\!\left({\alpha -\beta \over 2}\right).

</math>

• <math>\cos\alpha - \cos\beta =

 -2\sin\!\left({\alpha +\beta \over 2}\right) \sin\!\left({\alpha -\beta \over 2}\right).

</math>

積和公式

• <math> \sin\alpha\, \cos \beta =

 {1\over 2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}.

</math>

• <math> \cos\alpha\, \sin\beta =

 {1\over 2}\{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)\}.

</math>

• <math> \cos\alpha\, \cos\beta =

 {1\over 2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\}.

</math>

• <math> \sin\alpha\, \sin\beta =

 -{1\over 2}\left\{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\right\}.

</math>

合成公式

• <math>a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\theta + \varphi),</math>

ただし <math>\varphi=\tan^{-1}\!\left( \frac{b}{a} \right).</math>

無限乗積展開

三角関数は以下のように無限乗積に展開される。(→証明)

<math>\sin{{\pi}z}={\pi}z\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}</math>

<math>\cos{{\pi}z}=\prod_{n=1}^{\infty}{\left\{1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2}\right\}}</math>

部分分数展開

三角関数は以下のように部分分数に展開される。(→証明)

<math>\pi\operatorname{cot}{{\pi}z}=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=-N}^{N} \frac{1}{z+n} = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2z}{z^2-n^2}</math>

<math>\pi\tan{{\pi}z}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{-1}{z+\textstyle\frac{1}{2}+n}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2z}{z^2-\left(n+\textstyle\frac{1}{2}\right)^2}</math>

<math>\frac{\pi}{\sin{\pi}z}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac{(-1)^{n}}{z+n}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2z}{z^2-n^2}</math>

<math>\frac{\pi}{\operatorname{cos}{{\pi}z}} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=-N}^{N} \frac{(-1)^{n}}{z+\frac{1}{2}+n} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{z^2-\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}</math>

三角関数の微分法

• <math>{d\over dx}\sin x = \cos x,</math>
• <math>\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,</math>
• <math>\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x.</math>

三角関数の微分では、次の極限

<math>\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>

の成立が基本的である。このとき、sin x の導関数が cos x であることは加法定理から従う。さらに余角公式 cos x = sin(x + π/2) から cos x の導関数は sin(x + π) = −sin x である。即ち、sin x は微分方程式 d²y/dx² + y = 0 の、特殊解である。また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。

逆三角関数

三角関数の逆関数を逆三角関数（ぎゃくさんかくかんすう、inverse trigonometric function）とよぶ。逆三角関数は逆関数の記法に則り、元の関数の記号に −1 を（通常は右肩に）付して表す。たとえば逆正弦関数（ぎゃくせいげんかんすう、inverse sine; インバース・サイン）は sin⁻¹x などと表す。

<math>x=\sin y \iff y=\sin^{-1}x,</math>

<math>x=\cos{y} \iff y=\cos^{-1}{x},</math>

<math>x=\tan y \iff y=\tan^{-1}x,</math>

<math>x=\cot y \iff y=\cot^{-1}x,</math>

<math>x=\sec y \iff y=\sec^{-1}x,</math>

<math> x=\mathrm{cosec} y \iff y=\mathrm{cosec}^{-1}x</math>

である。逆関数は逆数をとるものではなく

<math>(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}=\mathrm{cosec} x</math>

とは異なるので注意したい。逆関数との混乱を避けるために sin⁻¹ x を arcsin x と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は多価関数になるので、通常は逆三角関数を一価連続なる枝に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に主値と呼ばれる枝を

<math>-\frac{\pi}{2}\leqq\sin^{-1}x\leqq\frac{\pi}{2},</math>

<math>0\leqq\cos^{-1}x\leqq\pi,</math>

<math>-\frac{\pi}{2}\leqq\tan^{-1}x\leqq\frac{\pi}{2}</math>

のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、Sin⁻¹, ArcSin のように頭文字を大文字にすることもよく行われる。

複素関数への拡張

三角関数の微分に関する性質から、cos x, sin x をテイラー展開することにより、かの有名なオイラーの公式 exp(ix) = cos x + isin x が導かれる。これより、2つの等式、

exp(ix) = cos x + i sin x

exp(−ix) = cos x − i sin x

が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の初等関数としての表現が可能となる。即ち、

<math>\operatorname{cos} x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math>,

<math>\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.</math>

この事実を用いて三角関数の定義域を複素数全体に拡張することができる。まず、

<math>\cos ix = \frac{e^{-x}+e^{x}}{2} = \operatorname{cosh} x,</math>

<math>\sin ix = \frac{e^{-x}-e^{x}}{2i} = i\operatorname{sinh} x</math>

である。ここで cosh x , sinh x は双曲線関数を指す。この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。任意の複素数 z は z = x+iy (x,y∈R) と表現できるから、加法定理より

cos z = cos(x+iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y,

sin z = sin(x+iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y

が成り立つ。これこそが正弦関数・余弦関数の定義域を複素数全体に拡張したものである。他の三角関数も正弦関数と余弦関数の四則演算によって定義できるから、結局全ての三角関数は定義域を複素数全体に拡張できることがわかる。

球面三角法

球面の三角形ABCの内角をa,b,c, 対辺(球の中心角をとる)をα,β,γとするとき、次のような関係が成立する。

sin a : sin b : sin c = sin α : sin β : sin γ - 正弦公式

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α, etc. - 余弦公式

cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a, etc. - 〃

sin a cos β = cos b sin c − sin b cos c cos α , etc. - 正弦余弦公式

関連項目

• 正弦定理
• 余弦定理
• 球面三角法
• コサイン4乗則

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