「円 (数学)」の版間の差分

2025年11月30日 (日) 22:03時点における版

円

数学において、円（えん、英：circle）とは、平面（2次元ユークリッド空間）上の、定点O（オー） からの距離が等しい点の集合でできる曲線のことをいう。

その「定点O」を円の中心という。円の中心と円周上の1点を結ぶ線分や、その線分の長さは半径という^[1][2]。

円は定幅図形の一つ。

なお円が囲む部分すなわち「円の内部」を含めて「円」ということもある。この場合、厳密さを必要とする時は、境界となる曲線のほうは「円周」（英：circumference） という。これに対して、内部を含めていることを強調するときには「円板」（英：disk）という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して「円形」ということもある。

習慣的に、とりあえず円をひとつ挙げその中心に名称をつける時は「O」（オー）と呼ぶことが多い。これは原点を英語で「オリジン」（英：Origin）というのでその頭文字をとったものである。中心が点Oである円は「円O」（えんオー）と呼ぶ。なお中心は英語では「センター」（英：Center）というので、円の中心が「C」（シー）になっている文献もある^[3]。

なお、数学以外の分野ではこの曲線のことを（あるいはそれに近い卵形の総称として）「丸」（まる）という俗称で呼称することがある。

円: 中心、半径・直径、円周

円の性質

弦と弧

円周と2点で交わる直線を割線という。このときの交点を2点 A, B とするとき、円周によって、割線から切り取られる線分 AB のことを弦といい、弦 AB と呼ぶ。特に円の中心を通る割線を中心線という。中心線は円の対称軸であり、円の面積を2等分する。円周が中心線から切り取る弦やその長さを、円の直径という。直径は半径の2倍に等しい。円周の長さは、円の大きさによってさまざまであるが、円周の長さの直径に対する比の値は、円に依らず一定であり、これを円周率という。特に断りのない限り、普通、円周率は π で表す。円の半径を r(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2πr で表される。また、円の面積は、πr ² で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。（等周問題）

中心角と円周角

一方、円周は割線によって 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を 円弧（英：arc）または単に弧という。

2つの弧の長さが等しくないとき、長い方の弧を 優弧（英：major arc）、短い方の弧を劣弧（英：minor arc）という。

2つの弧の長さが等しいとき、これらの弧を 半円周 という。このとき、割線は円の中心を通る中心線である。

円周上の2点 A, B を両端とする弧を弧 AB と呼ぶ。記号では、A͡B と表記する（記号 ⌒ は AB の上にかぶせて書くのが正しい）。これでは優弧・劣弧のどちらであるかを指定できていないデメリットがあり、一方を特定したい場合は、その弧上の点 P を用いて 弧APB のように表記する。

円 O の周上に2点 A, B があるとき、半径 OA, OB と弧 AB とで囲まれた図形を扇形（英：sector） O-A͡B という。また、扇形に含まれる側の ∠BOA を弧 AB を見込む中心角という。一つの円で考えるとき、中心角とその角が見込む弧の長さは比例する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。

弦 AB と弧 AB で囲まれた図形を弓形（英：segment）という。

中心角と円周角

弧 AB に対して、弧 AB 上にない円 O の周上の点 P を取るとき、∠APB を弧 AB に対する円周角という。弧 AB に対する円周角は点 P の位置に依らず一定であり、中心角 AOB の半分に等しい（円周角の定理）。特に弧 AB が半円周のときは、弧 AB に対する円周角は直角である（直径を見込む円周角:ターレスの定理）。

円と内接四角形

円 O の周上に4点 A, B, C, D があるとき、四角形 ABCD は円 O に内接するという（内接四角形）。このとき、円 O を四角形 ABCD の外接円という。四角形が円に内接するならば、四角形の対角の和は平角に等しい（内接四角形の定理）。円に内接する四角形の外角の大きさは、その内対角の大きさに等しい。また、これらの逆も成立する（四点共円定理、内接四角形の定理）。

円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の接線（英：tangent）といい、共有点を接点という。円の中心と接点を結ぶ半径（接点半径）は、接線と接点で直交する。

円の外部の点 A から円 O に2つの接線が描ける。この接点を S, T とすると、線分 AS, AT の長さを接線の長さという。接線の長さは等しい。円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい（接弦定理）。すなわち、下図で AT が接線ならば、∠BAT = ∠APB である。接弦定理は逆も成立する。

円の接吻数は6である。このことの完全な証明は1910年までできなかった^要出典。

2円の位置関係

位置関係

位置関係

2つの円（円 A, 円 B とする）の位置関係は次の場合に分けられる。

1. 円 A が円 B の内部にある場合 : 円 B は円 A を内包するという。特に、中心の位置が一致するとき、この2円を同心円と呼ぶ。
2. 円 A が円 B の周または内部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に内接するという。
3. 2円が異なる2点を共有する場合 : 2円は2点で交わるという。この2点を結ぶ弦を共通弦という。
4. 2円が互いの周または外部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に外接するという。
5. 2円が互いの外部にあり、共有点がない場合 : 2円は離れているという。

共通弦の性質

直線ＸＹを共通弦とする正円をＡ・Ｂ、Ｘを包みＹを外にする正円をＣ、Ｙを包みＸを外にする正円をＤ、ＡＣの共通弦とＢＣの共通弦の交点をＥ、ＡＤの共通弦とＢＤの共通弦の交点をＦ、とした時、ＥとＦはＸＹの線上にある。

三角形の三辺の位置と長さそのものを直径とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の頂垂線となる。

1. 既定の共通弦を持つ2円(A・B)と、その共通弦の一端のみを包む任意の別の円Cとの間にできる2本の共通弦(ACとBCの共通弦)の交点は、ABの共通弦上に存在する。
2. 三角形の三辺の位置と長さそのものを直径とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の頂垂線となる。

共通接線

2つの円に共通する接線を共通接線という。

特に、2円が共通接線に関して、同じ側にあるとき共通外接線、異なる側にあるとき共通内接線という。

上記の場合分けにおいて、描ける共通接線の個数は、

1. なし
2. 共通外接線1本
3. 共通外接線2本
4. 共通内接線1本、共通外接線2本の計3本
5. 共通内接線2本、共通外接線2本の計4本

のいずれか。

円の方程式

半径 r ≔ 1, 中心 (a, b) ≔ (1.2, −0.5) の円

解析幾何学において、(a, b) を中心とする半径 r の円は <math display="block"> (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2</math> を満たす点 (x, y) 全体の軌跡である。この方程式を、円の方程式と言う。これは、中心 (a, b) と円上の任意の点 (x, y) との二点間の距離が r であるということを述べたものに他ならず、半径を斜辺とする直角三角形にピタゴラスの定理を適用しすることで導出できる（直角を挟む二辺は、各座標の絶対差 |x − a|, |y − b| を長さとする）。

• 中心を原点に取れば、方程式は <math display="inline">x^2 + y^2 = r^2</math> と簡単になる。

α, β, γ, δ は実数で α ≠ 0 なるものとし、<math display="block">a := \frac{-\beta}{\alpha}, \quad b := \frac{-\gamma}{\alpha}, \quad \rho := \frac{\beta^2 +\gamma^2 - \alpha\delta}{\alpha^2}</math> と書けば、上記の方程式は <math display="block">f(x,y) := \alpha(x^2 + y^2) + 2(\beta x + \gamma y) + \delta = 0</math> の形になる。この形（x², y² の係数が等しく、xy の項を持たない）の方程式が与えられたとき、以下の何れか一つのみが成り立つ:

• ρ < 0 のときは、この方程式に解となる実点は存在しない。この場合を虚円^[4] (imaginary circle) の方程式と呼ぶ。
• ρ = 0 のとき、方程式 f(x, y) = 0 は中心となる一点 O ≔ (a, b) のみを解とし、点円^[5] (point circle) の方程式と言う。
• ρ > 0 のときには、f(x, y) = 0 は O を中心とする半径 r ≔ √ρ√ρ の円（あるいは実円 (real circle)）の方程式になる。

α = 0 のとき f(x, y) = 0 は直線の方程式であり、a, b, ρ は（射影平面上で、あるいは見かけ上）無限大になる。実は、直線を「無限遠点を中心とする半径無限大の円」と考えることができる（テンプレート:ill2 の項を参照）。

別の表示法

1. 中心の位置ベクトルを c とし、円上の任意の点の位置ベクトルを x とすると、これら二点間の距離は、ベクトルのユークリッドノルム ‖•   · ‖ ≔ ‖•   · ‖₂: (x, y) ↦ √x² + y²√x² + y² を用いて、‖x − c   · ‖ と書けるから、半径 r の円の方程式は <math display="block">\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\| = r</math> となる。各点の成分表示が c ≔ (a, b), x ≔ (x, y) と与えられれば、<math display="inline">r^2 = \|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|^2 = (x-a)^2+(y-b)^2</math> は上記の円の方程式である。

(a, b) を中心とする半径 r の円の方程式を正弦函数および余弦函数を用いて <math display="block">\begin{cases}

x = a + r\cos(\theta)\\
y = b + r\sin(\theta)

\end{cases}\qquad (0 \leq \theta < 2\pi )</math> と媒介表示できる。幾何学的には、媒介変数 θ を (a, b) から出る (x, y) を通る半直線が、始線（x-軸の正の部分）に対してなす角の角度と解釈できる。

円の別の媒介表示が半角正接置換により、<math display="block">\begin{cases} x = a + r \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ y = b + r \frac{2t}{1+t^2}\end{cases}</math> と与えられる。幾何学的には、この媒介変数 t の r に対する比を、中心を通り x-軸に平行な直線に関する立体射影として解釈できる。この媒介表示は、t が任意の実数のみならず無限遠点においても意味を持つが、その一方で円の最も下にある一点は表せないので除かなければならない。

その他の標準形

三点標準形

同一直線上にない三点を (x_i, y_i) (i = 1, 2, 3) とすると、その三点を通るという条件を満たす円は一つに決まり、その方程式を <math display="block">

 \frac{({\color{green}x}-x_1)({\color{green}x}-x_2)+({\color{red}y}-y_1)({\color{red}y}-y_2)}
      {({\color{red}y}-y_1)({\color{green}x}-x_2)-({\color{red}y}-y_2)({\color{green}x}-x_1)}
=\frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)}
      {(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}

</math> という形に表すことができる。これは行列式を用いて <math display="block">\begin{vmatrix} x^2 +y^2 &x &y &1\\ x_1^2+y_1^2 &x_1 &y_1 &1\\ x_2^2+y_2^2 &x_2 &y_2 &1\\ x_3^2+y_3^2 &x_3 &y_3 &1 \end{vmatrix} =0</math> と表すこともできる。

===

1. ===

射影平面上の円の方程式は、円上の任意の点のテンプレート:ill2を（埋め込み (x, y) ↦ [x : y : 1] のもとで） [x : y : z] と書くとき、その一般形を <math display="block">x^2+y^2-2axz-2byz+cz^2 = 0</math> と書くことができる。

極座標系

円の幾何学

三角形や円に関する事柄を扱う幾何学（相似や面積を用いない）は円論と呼ばれ、古来非常に深く研究されてきた。最も平面幾何学らしい幾何学とも呼ばれる。

九点円の定理

三角形の

それぞれの頂点から対辺に下ろした垂線の足（三つ）

辺の中点（三つ）

頂点と垂心を結んだ線分の中点（三つ）

は全て同一円上にある。この円のことを九点円と呼ぶ。

六点円の定理

三角形のそれぞれの頂点から下ろした垂線の足から他の二辺に下ろした、合計 6 個の垂線の足は、同一円周上にある、という定理。中学で習う円の性質だけで証明することができるが、かなり難解。

パスカルの定理

円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。更に拡張して、二次曲線上に異なる六つの点 P₁～P₆ をとると、直線 P₁P₂ と P₄P₅ の交点 Q₁、P₂P₃ と P₅P₆ の交点 Q₂、P₃P₄ と P₆P₁ の交点 Q₃は同一直線上にある。また、P_i における接線と P_j における接線の交点を R_ij とすると、3 直線 R₁₂R₄₅、R₂₃R₅₆、R₃₄R₆₁ は一点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。

フォイエルバッハの定理

三角形の内接円は、九点円に内接する。

一般化

3 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合を球面という。内部を含めた球面を球という。もっと一般に、n を自然数とするとき、n+1 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合のことを、n 次元球面といい、Sⁿ と書く。円は 1 次元球面である。

二つの点（焦点と呼ばれる）からの距離の和が一定であるような点の軌跡を楕円という。楕円は一般に円をつぶしたような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である（このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる）。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを正円（せいえん）または真円（しんえん）と呼ぶことがある。

拡幅円弧の長さ

半径Rの円弧上の始点で幅w1、終点で幅w2の拡幅円弧の長さの計算

<math>\ L=R\boldsymbol{\theta}</math>

<math>\ \frac{w2-w1}{L}=k</math>

とすると、

<math>\ dL=(R+w1+kR\boldsymbol{\theta})d\boldsymbol{\theta}</math>

<math>\ Lw=(R+w1)\boldsymbol{\theta}+\frac{1}{2}kR\boldsymbol{\theta}^2</math>

<math>\ Lw=L\big\{1+\frac{w1}{R}+\frac{kL}{2R}\big\}</math>

<math>\ Lw=L\big\{1+\frac{1}{R}(w1+\frac{1}{2}kL)\big\}</math>

<math>\ Lw=L\big\{1+\frac{1}{R}(w1+\frac{1}{2}(w2-w1))\big\}</math>

<math>\ Lw=L\big\{1+\frac{1}{R}\frac{w1+w2}{2}\big\}</math>

<math>\ Lw=(R+\frac{w1+w2}{2})\boldsymbol{\theta}</math>

よって、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。

関連項目

• 単位円
• 楕円
• 球
• 球面
• アルハゼンの定理
• 円周率
• ⌒

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1. ↑ デジタル大辞泉【半径】[1]
2. ↑ 精選版 日本国語大辞典【半径】[2]
3. ↑ もっと数学の世界、「原点はオー！」
4. ↑ 精選版 日本国語大辞典『[https://kotobank.jp/ word /%E8%99%9A%E5%86%86 ]』 - コトバンク
5. ↑ ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『[https://kotobank.jp/ word /%E7%82%B9%E5%86%86 ]』 - コトバンク